Question

已知A、B分别是x轴和y轴上的两个动点，满足|AB|=2，点P在线段AB上，且

AP

=t

PB

（t是不为0的常数），设点P的轨迹方程为C．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程C；
（Ⅱ）若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，试求实数t的取值范围；
（Ⅲ）若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点，点Q的坐标为(

3

2

，3)，求△QMN的面积S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设点A（a，0），B（0，b），C（x，y），由题意知

x-a=-tx y=t(b-y).

所以

a=(1+t)x b= 1+t t y

．再由|AB|=2，能够推出点P的轨迹方程．
（Ⅱ）由题意知，

4

(1+t)2

＞

4t2

(1+t)2

，解可得答案；
（Ⅲ）当t=2时，曲线C的方程为

9x2

4

+

9y2

16

=1，设M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），则|MN|=2

x12+y12

．设直线MN的方程为y=

y1

x1

x，所以点Q到直线MN的距离h=

| 3 2 y1-3x1|

x12+y12

，由此可求出△QMN的面积S的最大值．

解答：解：（Ⅰ）设点A（a，0），B（0，b），C（x，y），
∵

AP

=t

PB

，即（x-a，y）=t（-x，b-y），即

x-a=-tx y=t(b-y).

（2分）
则

a=(1+t)x b= 1+t t y

．
又∵|AB|=2，即a²+b²=4．
∴

(1+t)2x2

4

+

(1+t)2y2

4t2

=1．
∴点P的轨迹方程C：

x2

4 (1+t)2

+

y2

4t2 (1+t)2

=1．（5分）
（Ⅱ）∵曲线C为焦点在x轴上的椭圆，
∴

4

(1+t)2

＞

4t2

(1+t)2

，得t²＜1．
又∵t＞0，∴0＜t＜1．（8分）
（Ⅲ）当t=2时，曲线C的方程为

9x2

4

+

9y2

16

=1．（9分）
设M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），则|MN|=2

x12+y12

．
当x₁≠0时，设直线MN的方程为y=

y1

x1

x，
则点Q到直线MN的距离h=

| 3 2 y1-3x1|

x12+y12

，
∴△QMN的面积S=

1

2

•2

x12+y12

•

| 3 2 y1-3x1|

x12+y12

=|

3

2

y1-3x1|．（11分）
∴S2=|

3

2

y1-3x1|2=9x12+

9

4

y12-9x1y1．
又∵

9x12

4

+

9y12

16

=1，
∴9x12+

9

4

y12=4．
∴S²=4-9x₁y₁．
而1=

9x12

4

+

9y12

16

≥-2•

3x1

2

•

3y1

4

=-

9x1y1

4

，
则-9x₁y₁≤4．即S2≤8，S≤2

2

．
当且仅当

3x1

2

=-

3y1

4

时，
即x1=-

1

2

y1时，“=”成立．
当x₁=0时，|MN|=2•

4

3

=

8

3

，
∴△QMN的面积S=

1

2

•

8

3

•

3

2

=2．
∴S有最大值2

2

．（14分）

点评：本题考查直线的圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．