Question

3．求实数x，y满足x²+y²+2x-4y+1=0，求$\frac{y}{x-4}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 将$\frac{y}{x-4}$看做点（x，y）和点（0，4）两点间的直线斜率k，则两点所在直线方程为y=k（x-4）．而点（x，y）在圆上运动，所以圆心到直线距离小于半径，即d≤r，即可得出结论．

解答 解：将$\frac{y}{x-4}$看做点（x，y）和点（0，4）两点间的直线斜率k，则两点所在直线方程为y=k（x-4）．
而点（x，y）在圆上运动，所以圆心到直线距离小于半径，即d≤r． 
x²+y²+2x-4y+1=0的圆心C₁（-1，2），r=2，
则有：$\frac{{|{k（{-1-4}）-2}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}≤2$，得$-\frac{20}{21}≤k≤0$，
所以$\frac{y}{x-4}$的最大值为0，最小值为-$\frac{20}{21}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．