解:(1)f(x+2)的图象关于点(-2,0)对称,即f(x)的图象关于点(0,0)对称,
∴d=0,b=0,
又函数f(x)的图象过点P(3,-6),∴9a+c=-2,
f(x)=ax
3+bx
2+cx=0两根为x
1,x
2,且|x
1-x
2|=4,
∴
?
又|x
1-x
2|
2=
=16,c=-12a
∴a=
,b=0,c=-8,d=0,
∴f(x)=
-8x;
(2)f′(x)=2x
2-8,f′(3)=18,
∴切线方程为:10x-y-36=0;
(3)当-2≤x≤2时,f′(x)=2x
2-8≤0,∴f(x)在[-2,2]上递减,
又?α∈R,-2≤2cosα≤2,∴
,
同理,
,
∴?α、β∈R,
.
分析:(1)f(x+2)的图象关于点(-2,0)对称,即f(x)的图象关于点(0,0)对称,求出b,d的值,根据韦达定理得到关于a,c的等式,将点(3,-6)代入f(x)的解析式得到a,c的另一个等式,解方程组求出a,c的值,代入f(x)中得到其解析式.
(2)根据曲线的解析式求出导函数,把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率,根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可;
(3)求出f(x)的导函数,判断出导函数在[-2,2]上的符号,判断出函数在[-2,2]上的单调性,求出f(x)在[-2,2]上的最值,得证.
点评:本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系.导数是高考的热点问题,每年必考,要给予重视.