Question

下列命题中：
①f（x）的图象与f（-x）关于y轴对称．
②f（x）的图象与-f（-x）的图象关于原点对称．
③y=|lgx|与y=lg|x|的定义域相同，它们都只有一个零点．
④二次函数f（x）满足f（2-x）=f（2+x）并且有最小值，则f（0）＜f（5）．
⑤若定义在R上的奇函数f（x），有f（3+x）=-f（x），则f（2010）=0
其中所有正确命题的序号是

①②④⑤

．

Answer 1

分析：①②可以根据偶函数和奇函数的定义进行证明；
③根据对数函数的性质以及绝对值的性质进行求解；
④可以根据f（2-x）=f（2+x），求出其对称轴，有最小值，开口向上，利用图象进行求解；
⑤根据在R上的奇函数f（x），有f（3+x）=-f（x），求出其周期后进行判断；

解答：解：①f（x）的图象与f（-x），对任意的（a，f（a））在f（x）的图象上，可得关于y轴对称的点（-a，f（a））在f（-x）的图象上，故①正确；
②f（x）的图象与-f（-x）的图象，对任意的（a，f（a））在f（x）的图象上，可得关于原点对称的点（-a，-f（a））在-f（-x）的图象上，故②正确；
③y=|lgx|可得定义域为：{x|x＞0}，y=lg|x|的定义域为{x|x≠0}，故③错误；
④二次函数f（x）满足f（2-x）=f（2+x），对称轴为x=

2-x+2+x

2

=2，f（x）有最小值，故函数开口向上，可知f（0）=f（4），f（x）在（2，+∞）上为增函数，∴f（0）=f（4）＜f（5），故④正确；
⑤定义在R上的奇函数f（x），可得f（0）=0，
∵有f（3+x）=-f（x），可得f（x+3）=-f（x+6），可得f（x）=f（x+6），其周期为T=6，
∴f（2010）=f（335×6）=f（0）=0，故⑤正确；
故答案为①②④⑤；

点评：此题主要考查命题的真假命题的判定及其应用，考查了对数函数的性质以及奇函数的性质，是一道基础题；