Question

12．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间$[-\frac{π}{6}，-\frac{π}{12}\;]$上的最大值与最小值的和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简为一个角的一个三角函数的形式，然后求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）通过$[-\frac{π}{6}，-\frac{π}{12}\;]$求出相位的范围，利用正弦函数的最值求解函数的最大值与最小值的和．

解答 解：（Ⅰ）因为f（x）=2cosx（sinx+cosx）-1=sin2x+cos2x…．（4分）
=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$…．（6分）
所以函数f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{|ω|}=π$．…．（8分）
（Ⅱ）因为$x∈[-\frac{π}{6}，-\frac{π}{12}]$，
所以$2x∈[\;-\frac{π}{3}，-\frac{π}{6}\;]$，所以$（2x+\frac{π}{4}）∈[-\frac{π}{12}，\;\;\frac{π}{12}]$，…．（9分）
根据函数f（x）=sinx的性质，
当$2x+\frac{π}{4}=-\frac{π}{12}$时，函数f（x）取得最小值$\sqrt{2}sin（-\frac{π}{12}）$，…．（10分）
当$2x+\frac{π}{4}=\;\frac{π}{12}$时，函数f（x）取得最大值$\sqrt{2}sin\frac{π}{12}$．…．（11分）
因为$\sqrt{2}sin（-\frac{π}{12}）+\sqrt{2}sin（\frac{π}{12}）=0$，
所以函数f（x）在区间$x∈[-\frac{π}{6}，-\frac{π}{12}]$上的最大值与最小值的和为0．…．（13分）

点评 本题考查三角函数的化简求值，函数的最值的求法，二倍角以及两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．