Question

20．已知函数f（x）=x²-2x+5，$x∈[-2，\frac{1}{2}]$．
（1）是否存在实数m，使不等式m+f（x）＞0对于x∈[-2，$\frac{1}{2}$]恒成立，并说明理由；
（2）若至少存在一个实数x₀，使不等式m-f（x₀）＞0成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式m+f（x）＞0可化为m＞-f（x），求出右边的最大值，即可求得m的范围；
（2）m-f（x₀）＞0可化为m＞f（x₀），求出右边的最小值，即可求实数m的取值范围

解答 解：（1）函数f（x）=x²-2x=5=（x-1）²+4，
函数f（x）在定义域$x∈[-2，\frac{1}{2}]$上是减函数，$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{2}）=\frac{17}{4}$，
函数f（x）在定义域$x∈[-2，\frac{1}{2}]$恒大于等于$\frac{17}{4}$．实数m使不等式m＞-f（x）对于任意x∈R恒成立，
则m＞-$\frac{17}{4}$恒成立，所以m＞-$\frac{17}{4}$．
（2）若存在一个实数x₀，使不等式m-f（x₀）＞0成立，
由（1）得，m＞$\frac{17}{4}$，所以m＞$\frac{17}{4}$，实数m的取值范围为{m|m＞$\frac{17}{4}$}．

点评 本题考查恒成立问题，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．