Question

（2012•汕头一模）有以下四个命题：
①△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件；
②若命题p：?x∈R，sinx≤1，则?p：?x∈R，sinx＞1；
③不等式10^x＞x²在（0，+∞）上恒成立；
④设有四个函数y=x^-1，y=x

1

2

，y=x

1

3

，y=x³，其中在（0，+∞）上是增函数的函数有3个．
其中真命题的序号是（　　）

A．③④

B．①④

C．①③④

D．②③

Answer 1

分析：三角形中，大边对大角以及正弦定理得到“A＞B”?a＞b?2RsinA＞2RsinB?sinA＞sinB，判定出①正确；
根据含量词的命题的否定规则判定出②不正确；
通过构造函数，根据导函数的正负与函数单调性的关系求出y=10^x-x²＞1，进一步能判定出③正确；
根据5个常见幂函数的图象得到函数y=x^-1在（0，+∞）上是函减数；函数y=x

1

2

，y=x

1

3

，y=x³在（0，+∞）上是增函数，得到④正确．

解答：解：对于①，△ABC中，因为“A＞B”?a＞b?2RsinA＞2RsinB?sinA＞sinB，
所以①△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，
所以①正确；
对于②，若命题p：?x∈R，sinx≤1，则?p：?x∈R，sinx＞1；
所以②不正确；
对于③，令y=10^x-x²，y′=10^xln10-2x，y″=10^xln10ln10-2，
所以y″＞0，所以y′=10^xln10-2x在（0，+∞）上是增函数
所以y′＞0，所以y=10^x-x²在（0，+∞）上是增函数，所以y=10^x-x²＞1，所以10^x＞x²在（0，+∞）上恒成立
所以③正确
对于④，函数y=x^-1在（0，+∞）上是函减数；函数y=x

1

2

，y=x

1

3

，y=x³在（0，+∞）上是增函数
所以④正确．
函数y=x^-1在（0，+∞）上是函减数；函数y=x

1

2

，y=x

1

3

，y=x³在（0，+∞）上是增函数
故选C．

点评：本题考查三角形的正弦定理；含量词的命题的否定规则：量词交换，结论否定；导函数的正负与函数单调性的关系：导函数为负函数单减，导函数为正函数单增，是一道综合题．