Question

6．设f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值；
（2）若f（1）＞0，求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集；
（3）若f（1）=$\frac{3}{2}$，且g（x）=a^2x+a^-2x-4f（x），求g（x）在区间[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）是定义域为R的奇函数，可得k=1，
（2）f（x）=a^x-a^-x（a＞0，且a≠1），利用f（1）＞0，可得a＞1，从而可证f（x）在R上单调递增，故原不等式化为x²+2x＞4-x，从而可求不等式的解集；
（3）根据f（1）=$\frac{3}{2}$，确定a=2的值，从而可得函数g（x）=2^2x+2^-2x-4（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-4（2^x-2^-x）+2．令t=f（x）=2^x-2^-x，由（1）可知f（x）=2^x-2^-x为增函数，可得t≥f（1）=$\frac{3}{2}$，令h（t）=t²-4t+2=（t-2）²-2（t≥$\frac{3}{2}$），运用二次函数的最值的求法，即可得到最小值．

解答 解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=0，可k-1=0，即k=1，
（2）f（x）=a^x-a^-x（a＞0，且a≠1）
∵f（1）＞0，∴a-$\frac{1}{a}$＞0，又a＞0且a≠1，∴a＞1．
f′（x）=a^xlna+$\frac{lna}{{a}^{x}}$，
∵a＞1，∴lna＞0，而a^x+$\frac{1}{{a}^{x}}$＞0，
∴f′（x）＞0，∴f（x）在R上单调递增，
原不等式化为：f（x²+2x）＞f（4-x），
∴x²+2x＞4-x，即x²+3x-4＞0，
∴x＞1或x＜-4，
∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜-4}．
（3）∵f（1）=$\frac{3}{2}$，∴a-$\frac{1}{a}$=$\frac{3}{2}$，即2a²-3a-2=0，
∴a=2或a=-$\frac{1}{2}$（舍去）．
∴g（x）=2^2x+2^-2x-4（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-4（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，由（1）可知f（x）=2^x-2^-x为增函数，
∵x≥1，∴t≥f（1）=$\frac{3}{2}$，
令h（t）=t²-4t+2=（t-2）²-2（t≥$\frac{3}{2}$），
当t=2＞$\frac{3}{2}$，即x=log₂（1+$\sqrt{2}$）时，h（t）取得最小值-2，
即有g（x）在区间[1，+∞）上的最小值为-2．

点评 本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查解不等式，考查二次函数最值的研究，解题的关键是确定函数的单调性，确定参数的范围．