Question

13．在一次测量中，误差在±1%之内称为合格测量．某学生在一次测量中合格与否是等可能的．现对该学生的测量结果进行考核，共进行5次测量，记分规则如下表：

合格次数	0～2	3	4	5
记分	0	3	6	10

（1）求该学生得0分的概率；
（2）记ξ为该学生所得的分数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由已知得该学生5次测量中的合格次数X～B（5，$\frac{1}{2}$），该学生得0分的概率P=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2），由此能求出该学生得0分的概率．
（2）记ξ为该学生所得的分数，由已知得ξ的可能取值为0，3，6，10，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）由已知得该学生5次测量中的合格次数X～B（5，$\frac{1}{2}$），
∴该学生得0分的概率P=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）
=${C}_{5}^{0}（\frac{1}{2}）^{5}+{C}_{5}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{4}$+${C}_{5}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）^{3}$
=$\frac{1}{2}$．
（2）记ξ为该学生所得的分数，由已知得ξ的可能取值为0，3，6，10，
P（ξ=0）=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）=${C}_{5}^{0}（\frac{1}{2}）^{5}+{C}_{5}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{4}$+${C}_{5}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{2}$．
P（ξ=3）=P（X=3）${C}_{5}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{5}{16}$，
P（ξ=6）=P（X=4）=${C}_{5}^{4}（\frac{1}{2}）^{4}（\frac{1}{2}）$=$\frac{5}{32}$，
P（ξ=10）=P（X=5）=${C}_{5}^{5}（\frac{1}{2}）^{5}$=$\frac{1}{32}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	3	6	10
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{5}{32}$	$\frac{1}{32}$

Eξ=$0×\frac{1}{2}+3×\frac{5}{16}+6×\frac{5}{32}+10×\frac{1}{2}$=$\frac{35}{16}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．