Question

已知函数f（x）=x³-3ax+2（a∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a=0时，在曲线y=f（x）上是否存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x≠x），使得曲线在A，B两点处的切线均与直线x=2交于同一点？若存在，求出交点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若f（x）在区间（-2，2）存在最大值f（x₁），试构造一个函数h（x），使得h（x）同时满足以下三个条件：①定义域D={x|x＞-2}，且x≠4k-2，k∈N}；②当x∈（-2，2）时，h（x）=f（x）；③在D中使h（x）取得最大值f（x₁）时的x值，从小到大组成等差数列．（只要写出函数h（x）即可）

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：本题（1）由导函数值的正负判断函数的单调性，注意分类讨论；（2）假设存在满足条件的两点，进行求解，如果推出矛盾，则假设不成立；（3）根据条件构造出符合要求的函数，得到本题结论．

解答： 解：（Ⅰ）依题可得f′（x）=3x²-3a，
当a≤0时，f′（x）≥0恒成立，函数f（x）在R上单调递增；
当a＞0时，由f′(x)=3(x-

a

)(x+

a

)＞0，解得x＜-

a

或x＞

a

，
f（x）单调递增区间为（-∞，-

a

）和（

a

，+∞）．
（Ⅱ）设切线与直线x=2的公共点为P（2，t），
当a=0时，f′（x）=3x²，
则f′(x1)=3x12，
∴以点A为切点的切线方程为y-x13-2=3x12(x-x1)．
∵点P（2，t）在切线上，
∴t-x13-2=3x12(2-x1)，
即2x13-6x12+t-2=0．
同理可得方程2x23-6x22+t-2=0．
设g（x）=2x³-6x²+t-2，
则原问题等价于函数g（x）至少有两个不同的零点．
∵g′（x）=6x²-12x=6x（x-2），
当x＜0或x＞2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当0＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．
∴g（x）在x=0处取极大值g（0）=t-2，
在x=2处取极小值g（2）=t-10．
若要满足g（x）至少有两个不同的零点，
则需满足

t-2≥0 t-10≤0

，解得2≤t≤10．
故存在，且交点纵坐标的取值范围为[2，10]．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，-2＜-

a

＜0，即0＜a＜4．
①h（x）=（x-4k）³-3a（x-4k）+2，x∈（4k-2，4k+2），k∈N，其中0＜a＜4；
②h(x)=

f(x)，-2＜x＜2 f(x-2)，x＞2且x≠4k-2，k∈N*

，其中0＜a＜4；
③h（x）=

f(x)，-2＜x＜ f(- a )，x=- a +4k，k∈N* 0，x＞2且x≠- a +4k，x≠4k-2，k∈N*

，其中0＜a＜4．

点评：本题考查了导数的几何意义、导数与函数的单调性和最值，本题难度较大，计算量也较大，属于难题．