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已知直线(m+1)x+(n+
1
2
)y=
6+
6
2
与圆(x-3)2+(y-
6
)2=5
相切,若对任意的m,n∈R+均有不等式2m+n≥k成立,那么正整数k的最大值是(  )
分析:利用圆心(3,
6
)到直线(m+1)x+(n+
1
2
)y-
6+
6
2
=0的距离等于半径
5
,令2m+n=t,求得t的最小值即为正整数k的最大值.
解答:解:∵直线(m+1)x+(n+
1
2
)y-
6+
6
2
=0与圆(x-3)2+(y-
6
)
2
=5相切,
∴圆心(3,
6
)到直线(m+1)x+(n+
1
2
)y-
6+
6
2
=0的距离d等于半径
5

即d=
|3(m+1)+
6
(n+
1
2
)-
6+
6
2
|
(m+1)2+(n+
1
2
)
2
=
5

|3m+
6
n|
(m+1)2+(n+
1
2
)
2
=
5

两端平方,整理得:4m2+n2-5(2m+n)-
25
4
=-6
6
mn,
即(2m+n)2-5(2m+n)-
25
4
=(4-6
6
)mn.
∴(3
6
-2)•2mn=
25
4
+5(2m+n)-(2m+n)2≤(3
6
-2)•(
2m+n
2
)
2

令t=2m+n(t>0),
则(3
6
+2)t2-20t-25≥0,
∵△=(-20)2-4×(-25)×(3
6
+2)=600+300
6

∴t≥
20+10
6+3
6
2(3
6
+2)
=
10+5
6+3
6
(3
6
+2)

∴tmin=
10+5
6+3
6
(3
6
+2)
∈(3,4),
∵正整数k≤2m+n=t恒成立,
∴k=3.
故选A.
点评:本题考查直线与圆的位置关系,突出考查点到直线间的距离及运算能力,考查转化思想与方程思想的综合应用,属于难题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线l:x=4与x轴相交于点M,P是平面上的动点,满足PM⊥PO(O是坐标原点).
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过直线l上一点D(D≠M)作曲线C的切线,切点为E,与x轴相交点为F,若
DE
=
1
2
DF
,求切线DE的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

给出下列命题
(1)已知直线m,l,平面α,β,若m⊥β,l?α,α∥β,则m⊥l
(2)
a
b
>0
,是
a
b
的夹角为锐角的充要条件;
(3)如果函数y=f(x)为奇函数,则f(0)=0
(4)若f'(x0)=0,则f(x0)为极大值或极小值
(5)y=sin(2x+
π
3
)
的图象的一个对称中心是(
π
3
,0)

以上命题正确的是
(1)(5)
(1)(5)
(注:把你认为正确的命题的序号都填上)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线l0:x-y+2=0和圆C:x2+y2-8x+8y+14=0,设与直线l0和圆C都相切且半径最小的圆为圆M,直线l与圆M相交于A,B两点,且圆M上存在点P,使得
OP
=
OA
+
OB
a
,其中
a
=(1 , 3)

(1)求圆M的标准方程;
(2)求直线l的方程及相应的点P坐标.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知直线(m+1)x+(n+
1
2
)y=
6+
6
2
与圆(x-3)2+(y-
6
)2=5
相切,若对任意的m,n∈R+均有不等式2m+n≥k成立,那么正整数k的最大值是(  )
A.3B.5C.7D.9

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