Question

12．若关于x的不等式（ax-20）（lg2a-lgx）≤0对任意的x∈N₊恒成立，则实数a的取值范围是[3，$\frac{10}{3}$]．

Answer 1

分析 原不等式可转化为（ax-20）（2a-x）≤0，即不等式（x-$\frac{20}{a}$）（x-2a）≥0对任意x∈N₊恒成立，进而求出a的范围．

解答 解：由题可知x＞0，a＞0，原不等式可转化为（ax-20）（2a-x）≤0，
即不等式（x-$\frac{20}{a}$）（x-2a）≥0对任意x∈N₊恒成立，
当a≥$\sqrt{10}$时，$\frac{20}{a}$≤2a，此时，不等式的解决为（0，$\frac{20}{a}$]∪[2a．+∞），
而2$\sqrt{10}$∈[$\frac{20}{a}$，2a]，
所以$\frac{20}{a}$≥6用2a≤7，解得a≤$\frac{10}{3}$，
故a∈[$\sqrt{10}$，$\frac{20}{a}$]；
同理，当a＜$\sqrt{10}$时，a∈[3，$\sqrt{10}$）
综上[3，$\frac{10}{3}$]
故a的范围为[3，$\frac{10}{3}$]，
故答案为：[3，$\frac{10}{3}$]

点评 本题考查不等式恒成立等知识，考查考生分类讨论思想、转化与化归思想及运算求解能力，属于较难题