Question

20．已知函数f（x）=x⁴-3x²+6，
（1）求f（x）的极值；
（2）当x∈[$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]时，求函数的最大值．

Answer 1

分析 （1）先求导，再令导数等于0，判断函数的单调区间，得到函数的极值；
（2）由（1）可知，函数f（x）在（-$\frac{1}{2}$，0）单调递增，在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递减，即可求出函数的最大值．

解答 解：（1）f（x）=x⁴-3x²+6，
∴f′（x）=4x³-6x，
令f′（x）=0，解得x=0，或x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，或x=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
当f′（x）＞0，解得-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜x＜0，或x＞$\frac{\sqrt{6}}{2}$，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0，解得x＜-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，或0＜x＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$，函数f（x）单调递减，
∴当x=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，函数有极小值，极小值为f（±$\frac{\sqrt{6}}{2}$）=$\frac{15}{4}$，
当x=0时，函数有极大值；极大值为f（0）=6．
（2）由（1）可知，函数f（x）在（-$\frac{1}{2}$，0）单调递增，在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递减，
∴当x=0时，函数有极大值，也是最大值，
∴f（x）_max=f（0）=6．

点评 本题考查了导数和函数恩对极值最值的关系，关键是判断函数的单调性，属于基础题．