Question

2010年某电视生产厂家中标商务部家电下乡活动，若厂家投放A、B型号电视机的价值分别为p万元，q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为mlnp（m＞0）万元，

1

10

q万元，已知厂家把总价值为10万元的A、B两种型号电视机投放黄冈市场，且A、B两种型号的电视机投放金额都不低于1万元．（精确到0.1，参考数据：ln4≈1.4）
（1）当m=

2

5

时，请你制订一个投放方案，使得在这次活动中黄冈农民得到的补贴最多，并求出其最大值．
（2）当m≥1时，农民得到的补贴随厂家投放A型号电视机金额的变化而怎样变化？

Answer 1

分析：（1）根据厂家投放A、B型号电视机的价值分别为p万元，q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为mlnp（m＞0）万元，

1

10

q万元，可得农民获得补贴，将m=

2

5

代入可得函数关系式．利用求导数的方法，并根据增减性判断出y有最大值求出即可．
（2）求导函数y′=

m

x

-

1

10

=

10m-x

10x

，可以得出m≥1时，y'＞0恒成立，所以y在[1，9]上是增函数，故可得结论．

解答：解：设投放的A型号的电视机的价值为x万元，则投放的B型号的电视机的价值为（10-x）万元，且x≥1，10-x≥1，即1≤x≤9，根据题意农民获得补贴y=mlnx+

1

10

(10-x)=mlnx-

1

10

x+1…（4分）
（1）当m=

2

5

时，y=

2

5

lnx-

1

10

x+1y′=

2

5x

-

1

10

=

4-x

10x

，由y'=0得x=4，
当x∈（1，4）时y'＞0，
当x∈（4，9）时y'＜0，故x=4是函数y的极大值点，又是唯一的极大值点，故也是y的最大值点，
此时ymax=

2

5

ln4-

4

10

+1≈1.2（万元）
即厂家分别投放A、B两种型号电视机4万元和6万元时，农民得到补贴最多，最多补贴约1.2万元…（9分）
（2）由y′=

m

x

-

1

10

=

10m-x

10x

当m≥1时，10m≥10，而1≤x≤9，∴此时y'＞0恒成立，∴y在[1，9]上是增函数
因此随A型电视机投放金额x的增加，农民得到的补贴逐渐增加．…（13分）

点评：本题以实际问题为素材，考查函数模型的构建，考查学生分析解决问题的能力，同时考查利用导数研究函数的单调性与最值，综合性强．