Question

设函数f(x)＝x³－x²＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(1)确定b，c的值；
(2)设曲线y＝f(x)在点(x₁，f(x₁))及(x₂，f(x₂))处的切线都过点(0,2)．
证明：当x₁≠x₂时，f ′(x₁)≠f ′(x₂)；
(3)若过点(0,2)可作曲线y＝f(x)的三条不同切线，求a的取值范围．

Answer 1

解：(1)由f(x)＝x³－x²＋bx＋c，得f(0)＝c，f ′(x)＝x²－ax＋b，f ′(0)＝b，
又由曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，得f(0)＝1，f ′(0)＝0，故b＝0，c＝1.
(2)f(x)＝x³－x²＋1，f ′(x)＝x²－ax，由于点(t，f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f ′(t)(x－t)，
而点(0,2)在切线上，所以2－f(t)＝f ′(t)(－t)，化简得t³－t²＋1＝0，
即t满足的方程为t³－t²＋1＝0，
下面用反证法证明：假设f ′(x₁)＝f ′(x₂)，
由于曲线y＝f(x)在点(x₁，f(x₁))及(x₂，f(x₂))处的切线都过点(0,2)，则下列等式成立：

由③得x₁＋x₂＝a，由①－②得x₁²＋x₁x₂＋x₂2＝a²④
又x₁²＋x₁●x₂＋x₂²＝(x₁＋x₂)²－x₁x₂＝a²－x₁(a－x₂)＝x₁²－ax₁＋a²＝(x₁－)²＋a²≥a²
故由④得，x₁＝，此时x₂＝与x₁≠x₂矛盾，所以f ′(x₁)≠f ′(x₂)．
(3)由(2)知，过点(0,2)可作y＝f(x)的三条切线，等价于方程2－f(t)＝f ′(t)(0－t)有三个相异的实根，即等价于方程t³－t²＋1＝0有三个相异的实根．
设g(t)＝t³－t²＋1，则g′(t)＝2t²－at＝2t(t－)
由于a>0，故有

由g(t)的单调性可知：要使g(t)＝0有三个相异的实根，当且仅当1－<0，即a>，
∴a的取值范围是(，＋∞)