Question

设x∈R，用[x]表示不超过x的最大值整数，则y=[x]称为高斯函数，下列关于高斯函数的说法正确的有

 

①[-x]=-[x]
②x-1＜[x]≤x
③?x，y∈R，[x]+[y]≤[x+y]
④?x≥0，y≥0，[xy]≤[x][y]
⑤离实数x最近的整数是-[-x+

1

2

]．

Answer 1

分析：根据高斯函数的定义，分别进行判断即可．

解答：解：①若x=

1

2

，则[-x]═[-

1

2

]=-1，[x]=[

1

2

]=0，∴①错误．
②若x是整数，则[x]=x，此时不等式x-1＜[x]≤x成立，
若x不是整数，则根据定义可知[x]＜x，且[x]＞x-1，
此时不等式x-1＜[x]≤x，成立，∴②正确．
③?x，y∈R，x-1＜[x]≤x，y-1＜[y]≤y，
x+y-1＜[x+y]≤x+y，
若x，y至少含有一个整数，则，[x]+[y]=[x+y]成立．
若x，y都不是整数，则[x]+[y]＜[x+y]，
综上：[x]+[y]≤[x+y]，∴③正确．
④?x≥0，y≥0，
当x=

1

2

，y=4时，[x]=0，[y]=4，xy=2，
即[xy]=2，此时，[xy]≤[x][y]不成立，
∴④错误．
⑤∵-[-x+

1

2

]=[x-

1

2

]，则根据高斯函数的定义可知，而此时离实数最近的整数是1，
若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

，（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，
则m-1＜x-

1

2

≤m，
∴，离实数x最近的整数是m=[x-

1

2

]．
故⑤正确．
故答案为：②③⑤

点评：本题主要考查高斯函数的定义及应用，正确理解题意是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．