已知函数f(x-2)=ax2-(a-3)x+(a-2)的图象过点(1,0),设g(x)=f[f(x)],F(x)=p·g(x)+q·f(x)(p、q∈R).
(1)求a的值.
(2)求函数F(x)的解析式.
(3)是否存在实数p(p>0)和q,使F(x)在区间(-∞,f(2))上是增函数且在(f(2),0)上是减函数?请证明你的结论.
(1)由题意知a-(a-3)+a-2=0,解得a=-1; (2)∵a=-1, ∴f(x-2)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,即f(x)=-x2+1. ∴g(x)=f[f(x)]=-x4+2x2. ∴F(x)=-px4+(2p-q)x2+q; (3)∵f(2)=-3,则可假设存在实数p>0和q,使得F(x)在区间(-∞,-3)上是增函数,在(-3,0)上是减函数. 设x1<x2,则F(x1)-F(x2)=(x12-x22)[-p(x12+x22)+2p-q]. ①当x1、x2∈(-∞,-3)时, ∵F(x)是增函数,∴F(x1)-F(x2)<0. 又x12-x22>0, ∴-p(x12+x22)+2p-q<0. ① 又x1<-3,x2<-3,∴x12+x22>18. ∴-p(x12+x22)+2p-q<-18p+2p-q=-16p-q.要使①式成立,只需-16p-q≤0. ②当x1、x2∈(-3,0)时,F(x)是减函数, ∴F(x1)-F(x2)>0. 又x12-x22>0, ∴-p(x12+x22)+2p-q>0. ② 又∵x1、x2∈(-3,0),∴x12+x22<18. ∴-p(x12+x22)+2p-q>-18p+2p-q=-16p-q. 要使②式成立,只需-16p-q≥0. 综合①②可知-16p-q=0,即16p+q=0. ∴存在实数p和q,使得F(x)在区间(-∞,-3)上是增函数,在(-3,0)上是减函数. |
科目:高中数学 来源: 题型:
1 | ||
|
2 |
1 |
an+1 |
A、2n-1 | ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
x |
2 |
π |
2 |
x |
2 |
π |
2 |
π |
2 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
3 |
2 |
1 |
3 |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com