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已知函数f(x-2)=ax2-(a-3)x+(a-2)的图象过点(1,0),设g(x)=f[f(x)],F(x)=p·g(x)+q·f(x)(p、q∈R).

(1)求a的值.

(2)求函数F(x)的解析式.

(3)是否存在实数p(p>0)和q,使F(x)在区间(-∞,f(2))上是增函数且在(f(2),0)上是减函数?请证明你的结论.

答案:
解析:

  (1)由题意知a-(a-3)+a-2=0,解得a=-1;

  (2)∵a=-1,

  ∴f(x-2)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,即f(x)=-x2+1.

  ∴g(x)=f[f(x)]=-x4+2x2

  ∴F(x)=-px4+(2p-q)x2+q;

  (3)∵f(2)=-3,则可假设存在实数p>0和q,使得F(x)在区间(-∞,-3)上是增函数,在(-3,0)上是减函数.

  设x1<x2,则F(x1)-F(x2)=(x12-x22)[-p(x12+x22)+2p-q].

  ①当x1、x2∈(-∞,-3)时,

  ∵F(x)是增函数,∴F(x1)-F(x2)<0.

  又x12-x22>0,

  ∴-p(x12+x22)+2p-q<0.  ①

  又x1<-3,x2<-3,∴x12+x22>18.

  ∴-p(x12+x22)+2p-q<-18p+2p-q=-16p-q.要使①式成立,只需-16p-q≤0.

  ②当x1、x2∈(-3,0)时,F(x)是减函数,

  ∴F(x1)-F(x2)>0.

  又x12-x22>0,

  ∴-p(x12+x22)+2p-q>0.  ②

  又∵x1、x2∈(-3,0),∴x12+x22<18.

  ∴-p(x12+x22)+2p-q>-18p+2p-q=-16p-q.

  要使②式成立,只需-16p-q≥0.

  综合①②可知-16p-q=0,即16p+q=0.

  ∴存在实数p和q,使得F(x)在区间(-∞,-3)上是增函数,在(-3,0)上是减函数.


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