Question

设f(x)=

1+x

1-x

，记f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，则f₂₀₁₀（x）=（　　）

• A．-

  1

  x

• B．x
• C．

  x-1

  x+1

• D．

  1+x

  1-x

Answer 1

分析：根据递推公式f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，可以递推出前几项，能不完全归纳出周期T=4，所以f₂₀₁₀（x）=f₂（x）=-

1

x

．

解答：解：由题意知
∵f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，
∴f₁（x）=f（x），
 f2(x)=f(f1(x))=-

1

x

；
 f3(x)=f(f2(x))=

x-1

x+1

；
 f₄（x）=f（f₃（x））=x；
 f5(x)=f(f4(x))=

1+x

1-x

；
…
归纳出规律：f_k（x）以周期T=4的周期数列，
∴f₂₀₁₀（x）=f₂（x）=-

1

x

．
故选A．

点评：本题主要考查由递推公式，递推出数列的前几项，归纳出一定的规律，即周期为T=4的周期数列，对学生的不完全归纳法的思想能力要求比较高．