Question

【题目】已知函数f（x）= ，
（1）若m=2，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）恰有2个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：若m=2，则f（x）= ，

当1≤x＜3时，f（x）=log3x﹣2，﹣2≤f（x）≤﹣1，f（x）min=﹣2

当x≥3时，f（x）=3（x﹣2）（x﹣4）=3（x﹣3）2﹣3，f（x）min=﹣3

∴f（x）的最小值为﹣3

（2）解：①若f（x）在1≤x＜3时有1个零点，则m＜0或 ，∴0≤m＜1

此时需f（x）在x≥3时有1个零点，

∴ ∴m无解，

②若f（x）在1≤x＜3时无零点，则m＜0或1﹣m≤0，即m＜0或m≥1，此时f（x）在x≥3时有2个零点

当m＜0时，f（x）在x≥3时无零点，不符合题意，

当m≥1时，f（x）在x≥3时有2个零点，则m≥3

综上，m的取值范围为[3，+）

【解析】1、把m的值代入可得分段函数，分析每一个函数的最小值，分别根据对数函数的单调性可得当1≤x＜3时，f（x）min=﹣2。当x≥3时，根据二次函数的最值情况求得f（x）min=﹣3，即最小值为-3.
2、利用反证法可得若f（x）在1≤x＜3时有1个零点不成立，当m＜0时，f（x）在x≥3时无零点，不符合题意故即得f（x）在x≥3时有2个零点成立则m≥3。