【题目】动点与点的距离和它到直线的距离相等,记点的轨迹为曲线
(1)求曲线的方程
(2)设点,动点在曲线上运动时,的最短距离为,求的值以及取到最小值时点的坐标
(3)设为曲线的任意两点,满足(为原点),试问直线是否恒过一个定点?如果是,求出定点坐标;如果不是,说明理由
【答案】(1);(2);;(3)恒过定点,理由见解析
【解析】
(1)由抛物线定义可知轨迹为抛物线,结合焦点坐标求得曲线方程;
(2)设,由两点间距离公式可得到,结合二次函数的性质可知当时,取得最小值,从而构造方程求得;利用求得,从而得到点坐标;
(3)将直线方程与抛物线方程联立可得坐标;由两点连线斜率公式求得直线斜率,进而得到直线的方程,整理可得恒过的定点坐标.
(1)由抛物线定义可知,动点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线
曲线的方程为:
(2)设
当时,,解得:
此时
(3)由题意知,直线斜率均存在且均不为零,可记为
,与抛物线方程联立得:
同理可得: 直线斜率为
直线方程为:
整理可得: 当,时等式恒成立
直线恒过点
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【题目】(题文)(题文)已知椭圆的左右顶点分别为,,右焦点的坐标为,点坐标为,且直线轴,过点作直线与椭圆交于,两点(,在第一象限且点在点的上方),直线与交于点,连接.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线的斜率为,直线的斜率为,问:的斜率乘积是否为定值,若是求出该定值,若不是,说明理由.
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【题目】在中,已知,M是BC的中点.
(1)若,求向量与向量的夹角的余弦值;
(2)若O是线段AM上任意一点,且,求的最小值;
(3)若点P是边BC上的一点,且,求的最小值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程(本题满分10分)
在平面直角坐标系中,将曲线向左平移2个单位,再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的,得到曲线,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,的极坐标方程为.
(1)求曲线的参数方程;
(2)已知点在第一象限,四边形是曲线的内接矩形,求内接矩形周长的最大值,并求周长最大时点的坐标.
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【题目】已知在平面直角坐标系中,直线(为参数),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;
(2)设点直角坐标为,直线与曲线交于,两点,求的值.
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【题目】已知椭圆的左.右焦点分别为,短轴两个端点为,且四边形的边长为 的正方形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若,分别是椭圆长轴的左,右端点,动点满足,连结,交椭圆于点.证明: 的定值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试问轴上是否存在异于点,的定点,使得以为直径的圆恒过直线,的交点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=(kx+)ex﹣2x,若f(x)<0的解集中有且只有一个正整数,则实数k的取值范围为 ( )
A. [ ,)B. (,]
C. [)D. [)
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【题目】如图,正方体的棱长为1,线段上有两个动点,且,现有如下四个结论:
;平面;
三棱锥的体积为定值;异面直线所成的角为定值,
其中正确结论的序号是______.
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【题目】在平面直角坐标系中有如下正确结论:为曲线(、为非零实数,且不同时为负)上一点,则过点的切线方程为.
(1)已知为椭圆上一点,为过点的椭圆的切线,若直线与直线的斜率分别为与,求证:为定值;
(2)过椭圆上一点引椭圆的切线,与轴交于点.若为正三角形,求椭圆的方程;
(3)求与圆及(2)中的椭圆均相切的直线与坐标轴围成的三角形的面积的取值范围.
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