精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知曲线C:x2+y2-2ax-2(a-1)y-1+2a=0.
(1)证明:不论a取何实数,曲线C必过定点;
(2)当a≠1时,若曲线C与直线y=2x-1相切,求a的值;
(3)对所有的a∈R且a≠1,是否存在直线l与曲线C总相切?如果存在,求出l的方程;如果不存在,请说明理由.
分析:先提取参数a,令a的系数为0,求解曲线的所过定点的坐标;对方程配方,得圆的方程,
利用直线与圆相切的条件d圆心到直线=R求解(2);
利用圆心轨迹的参数方程,可求圆心所在直线,由(1)曲线过定点,可求得定直线,再证明其符合条件即可.
或假设存在,设直线方程,利用待定系数法求解即可.
解答:解:(1)证明:曲线C的方程可变形为(x2+y2+2y-1)+(-2x-2y+2)a=0,
x2+y2+2y-1=0
-2x-2y+2=0
,…(2分)
解得
x=1
y=0
,点(1,0)满足C的方程,
故曲线C过定点(1,0).…(4分)
(2)原方程配方得(x-a)2+(y-a+1)2=2(a-1)2;由于a≠1,所以2(a-1)2>0,
所以C的方程表示圆心是(a,a-1),半径是
2
|a-1|
的圆.…(6分)
由题意得圆心到直线距离d=
|a|
5
,…(8分)
2
|a-1|=
|a|
5
,解得a=
10±
10
9
.…(10分)
(3)法一:由(2)知曲线C表示圆设圆心坐标为(x,y),则有
x=a
y=a-1

消去a得y=x-1,故圆心必在直线y=x-1上.
又曲线C过定点(1,0),所以存在直线l与曲线C总相切,…(12分)
直线l过点(1,0)且与直线y=x-1垂直;
∴l方程为y=-(x-1)即y=-x+1.…(16分)
法二:假设存在直线l满足条件,显然l不垂直于x轴,设l:y=kx+b,
圆心到直线距离d=
|ka+b-a+1|
1+k2

|ka+b-a+1|
1+k2
=
2
|a-1|
对所有的a∈R且a≠1都成立,…(12分)
即(k+1)2a2-2(2k2+k+kb-b+1)a+2k2+2-(b+1)2=0恒成立
(k+1)2=0
2k2+k+kb-b+1=0
2(k+1)2-(b+1)2=0
k=-1
b=1

∴存在直线l:y=-(x-1)即y=-x+1与曲线C总相切.…(16分)
点评:本题考查曲线过定点问题和直线与圆的位置关系;利用曲线方程概念可证曲线过定点问题;直线与圆的位置关系是:相交(d圆心到直线<R),相切(d圆心到直线=R),相离(d圆心到直线>R);解决直线的存在性问题的一般思路:一是根据条件判断,求出已知直线,证明其符合条件;二是假设存在,设直线方程,利用待定系数法求出(或证明矛盾,不存在).
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知曲线C:x2-y|y|=1.
(1)画出曲线C的图象,
(2)若直线l:y=x+m与曲线C有两个公共点,求m的取值范围;
(3)若过点P(0,2)的直线与曲线C在x轴上方的部分交于不同的两点M,N,求t=
OM
OP
+
OM
PN
的范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2006•浦东新区模拟)已知曲线C:x2-y|y|=1(|x|≤4).
(1)画出曲线C的图象,
(2)若直线l:y=kx-1与曲线C有两个公共点,求k的取值范围;
(3)若P(0,p)(p>0),Q为曲线C上的点,求|PQ|的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知曲线C:x2-y|y|=1(|x|≤4).
(1)画出曲线C的图象,
(2)(文)若直线l:y=x+m与曲线C有两个公共点,求m的取值范围;
(理)若直线l:y=kx-1与曲线C有两个公共点,求k的取值范围;
(3)若P(0,p)(p>0),Q为曲线C上的点,求|PQ|的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知曲线C:x2-y|y|=1.
(1)画出曲线C的图象,
(2)若直线l:y=x+m与曲线C有两个公共点,求m的取值范围;
(3)若过点P(0,2)的直线与曲线C在x轴上方的部分交于不同的两点M,N,求t=
OM
OP
+
OM
PN
的范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2007年上海市徐汇区零陵中学高三3月综合练习数学试卷(五)(解析版) 题型:解答题

已知曲线C:x2-y|y|=1(|x|≤4).
(1)画出曲线C的图象,
(2)(文)若直线l:y=x+m与曲线C有两个公共点,求m的取值范围;
(理)若直线l:y=kx-1与曲线C有两个公共点,求k的取值范围;
(3)若P(0,p)(p>0),Q为曲线C上的点,求|PQ|的最小值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案