Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知bcosC=（2a-c）cosB．
（1）求角B的大小；
（2）若a，b，c成等比数列，试确定△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理把所给的式子转化为含有角的式子，再由两角和的正弦公式和内角和定理进行化简，求出角B的余弦值，进而求出B；
（2）由（1）的结果和余弦定理，求出边之间的关系，进而判断出三角形的形状．

解答：解：（1）∵bcosC=（2a-c）cosB
∴由正弦定理得，sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB，
sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，
sin（B+C）=2sinAcosB，
∵B+C=π-A，∴sin（B+C）=sinA，
∴cosB=

1

2

，则B=60°；
（2）∵a，b，c成等比数列，∴b²=ac，
由（1）得，B=60°，
根据余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB，
∵b²=ac，∴ac=a²+c²-ac，即（a-c）²=0，
∴a=c，
故三角形是等边三角形．

点评：本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，实现角边相互转化，是判断三角形的形状常采用的一种方法．