Question

已知a＞0，b∈R，函数f(x)=

1

2

x2+alnx-(a+1)x+b．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）令a=2，若经过点A（3，0）可以作三条不同的直线与曲线y=f（x）相切，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由f′(x)=x+

a

x

-(a+1)=

(x-1)(x-a)

x

，x∈（0，+∞），令f′（x）=0，得x=a，或x=a．由此根据a的取值进行分类讨论，能求出f（x）的单调递增区间．
（II）设切点为P（x₀，y₀），切线斜率为k，则关于x₀的方程

1

2

x02+2lnx0-3x0+b=

(x0-1)(x0-2)(x0-3)

x0

有三个不等实根，即b=

1

2

x02-3x0-

6

x0

-2lnx0+11，由此入手能够推导出当b∈（

9

2

-2ln3，12-6

2

-ln2）时，可作三条切线．

解答：解：（I）∵a＞0，b∈R，函数f(x)=

1

2

x2+alnx-(a+1)x+b，
∴f′(x)=x+

a

x

-(a+1)
=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

，x∈（0，+∞）
令f′（x）=0，得x=a，或x=a．
①当0＜a＜1时，f（x）的单调递增区间为（0，a），（1，+∞）；
②当a=1时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
③当a＞1时，f（x）的单调递增区间是（0，1），（a，+∞）．
（II）设切点为P（x₀，y₀），切线斜率为k，
则方程组

y0=k(x0-3) y0= 1 2 x02+2lnx0-3x0+b k=f′(x0)= (x0-1)(x0-2) x0

，
即关于x₀的方程

1

2

x02+2lnx0-3x0+b=

(x0-1)(x0-2)(x0-3)

x0

有三个不等实根，
整理，得b=

(x0-1)(x0-2)(x0-3)

x0

-(

1

2

x02+2lnx0-3x0)
=

1

2

x02-3x0-

6

x0

-2lnx0+11，
令h（x）=

1

2

x2-3x-

6

x

-2lnx+11，x∈(0，+∞)，
则h′（x）=x-3+

6

x2

-

2

x

，
h′（x）=0，解得x=

2

，或x=3．
当x变化时，h′（x）与h（x）的变化情况如下表：

x	（0， 2 ）	2	（ 2 ，3）	3	（3，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

当x=1时，h（x）取得极大值h（

2

）=12-6

2

-ln2．
当x=3时，h（x）取得极小值h（3）=

9

2

-2ln3；
又当x趋近于0时，h（x）充分小，当x趋近于+∞时，h（x）充分大，
故当b∈（

9

2

-2ln3，12-6

2

-ln2）时，可作三条切线．

点评：本题考查函数的单调递增区间的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想、等价转化思想的合理运用．