【题目】已知函数.
(I) 当时,求函数的单调区间;
(II) 当时,恒成立,求的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)对函数求导,令,由,可得有两个不同解,结合函数的定义域,即可求得函数的单调区间;(Ⅱ)当时,恒成立等价于当时,恒成立,令,求导得,设,利用导数研究函数的单调性,从而可确定,然后对分类讨论,即可求得的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)∵,函数定义域为:
∴
令,由可知,
从而有两个不同解.
令,则
当时,;当时,,
所以函数的单调递增区间为,
单调递减区间为.
(Ⅱ)由题意得,当时,恒成立.
令,求导得,
设,则,
∵
∴
∴,
∴在上单调递增,即在上单调递增,
∴
①当时,,
此时,在上单调递增,而.
∴恒成立,满足题意.
②当时,,而
根据零点存在性定理可知,存在,使得.
当时,单调递减;
当时,,单调递增.
∴有,
∴恒成立矛盾
∴实数的取值范围为
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【题目】如图,在三棱锥中,平面,底面是以为斜边的等腰直角三角形,,是线段上一点.
(1)若为的中点,求直线与平面所成角的正弦值.
(2)是否存在点,使得平面平面?若存在,请指出点的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.
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【题目】在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知曲线的极坐标方程为 ,直线 的参数方程为 (为参数).
(I)分别求曲线的直角坐标方程和直线 的普通方程;
(II)设曲线和直线相交于两点,求弦长的值.
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【题目】阅读材料:空间直角坐标系O﹣xyz中,过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为=(a,b,c)的平面α的方程为a(x﹣x0)+b(y﹣y0)+c(z﹣z0)=0;过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为=(u,v,w)(uvw≠0)的直线l的方程为,阅读上面材料,并解决下面问题:已知平面α的方程为x+2y﹣2z﹣4=0,直线l是两平面3x﹣2y﹣7=0与2y﹣z+6=0的交线,则直线l与平面α所成角的大小为( )
A. arcsinB. arcsin
C. arcsinD. arcsin
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【题目】故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、 “赵孟頫书画展”四个展览.某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个,且至少参观一个画展,则不同的参观方案共有
A. 6种 B. 8种 C. 10种 D. 12种
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【题目】一次数学会议中,有五位教师来自三所学校,其中学校有位,学校有位,学校有位。现在五位老师排成一排照相,若要求来自同一学校的老师不相邻,则共有_______种不同的站队方法.
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【题目】已知命题:“若,则关于x的不等式的解集为空集”,那么它的逆命题,否命题,逆否命题,以及原命题中,假命题的个数是( )
A.0B.2C.3D.4
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