Question

【题目】函数f（x）=ka﹣x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）= 是奇函数，求b的值；
（3）在（2）的条件下判断函数g（x）的单调性，并用定义证明你的结论；
（4）解不等式g（3x）+g（x﹣3﹣x2）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：将A（0，1），B（3，8）代入函数解析式，得 ，

解得k=1，a= ，

∴f（x）=2x

（2）解：g（x）= = ，

若g（x）是奇函数，

则g（﹣x）=﹣g（x），

即 =﹣ ，

即 = ，

即1+b2x=2x+b，

则b=1

（3）解：∵b=1，

∴g（x）= = =1+ ，

要使原来函数有意义，必须满足2x﹣1≠0，即x≠0

∴函数的定义域为{x|x≠0}；

设x1＜x2＜0，

则g（x1）﹣g（x2）=1+ ﹣1﹣ = ﹣ =

= ，

∵x1＜x2＜0，

∴ ＜ ＜1，即 ﹣ ＞0．

﹣1＜0， ﹣1＜0，

则 ＞0，

即g（x1）﹣g（x2）＞0，则g（x）＞g（x2），即此时函数单调递减，

同理当x＞0时，函数g（x）为单调递减函数

（4）解：∵g（x）= = =1+ ，

∴当x＞0时，g（x）＞0，

当x＜0时，g（x）＜0，

不等式g（3x）+g（x﹣3﹣x2）＜0．

等价为不等式g（3x）＜﹣g（x﹣3﹣x2）=g（x2﹣x+3），

∵x2﹣x+3=（x﹣ ）2+ ＞0，

∴g（x2﹣x+3）＞0，

若3x＜0，则x＜0时，g（3x）＜0，则不等式成立，

若3x＞0，即x＞0时，

∵g（x）在（0，+∞）上为减函数，

∴3x＞x2﹣x+3，

即x2﹣4x+3＜0，

解得1＜x＜3，

综上不等式的解为1＜x＜3或x＜0，

即不等式的解集为（1，3）∪（﹣∞，0）

【解析】（1）将A（0，1），B（3，8）代入函数解析式，得到关于k和a的方程，解方程即可得k和a的值，最后写出解析式即可．（2）根据函数奇偶性的定义进行求解．（3）根据函数单调性的定义进行证明．（4）结合函数奇偶性和单调性之间的关系进行求解即可．