Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦距为4，且经过点（-3，2

6

）．
（Ⅰ）求双曲线C的方程和其渐近线方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+2与双曲线C有且只有一个公共点，求所有满足条件的k的取值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出双曲线的焦点，根据定义求出a，然后求出b．可得双曲线C的方程与渐近线方程．
（2）联立直线与椭圆的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出a的值即可．

解答： 解：（1）由题意可知：双曲线的焦点为（-2，0）和（2，0）
根据定义有2a=|

(-3+2)2+(2 6 -0)2

-

(-3-2)2+(2 6 -0)2

|=2．
∴a=1由以上可知：a²=1，c²=4，b²=3．
∴所求双曲线C的方程为：x2-

y2

3

=1．…（4分）
渐近线方程为：y=±

3

x，…（6分）
（2）由

y=kx+2 x2 a2 - y2 b2 =1

，得：（3-k²）x²-4kx-7=0．
①当3-k²=0即k=±

3

时，此时直线l双曲线相交于一个公共点，符合题意；…（8分）
②当当3-k²≠0即k≠±

3

时，由△=0得k=±

7

，
此时直线l双曲线相切于一个公共点，符合题意． …（10分）
综上所述：符合题意的k的所有取值为

3

，-

3

，

7

，-

7

．…（12分）

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的方程的求法，考查计算能力．