Question

如图，A₁，A₂，…，A_m-1（m≥2）为区间[0，1]上的m等分点，直线x=0，x=1，y=0和曲线y=e^x所围成的区域为Ω₁，图中m个矩形构成的阴影区域为Ω₂，在Ω₁中任取一点，则该点取自Ω₂的概率等于

 

．

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：结合定积分计算直线x=0，x=1，y=0和曲线y=e^x所围成的区域为Ω₁的面积以及阴影部分的面积，再根据几何概型概率计算公式，即可得到答案．

解答： 解：由题意可知，此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，
由直线x=0，x=1，y=0和曲线y=e^x所围成的图形的面积S（Ω₁），
S（Ω₁）=

∫

1 0

exdx=ex

|

1 0

=e-1，
图中m个矩形构成的阴影区域为Ω₂，
则S（Ω₂）=

1

m

(e0+e

1

m

+e

2

m

+…+e

m-1

m

)=

1

m

e0•[1-(e 1 m )m]

1-e 1 m

=

1

m

e-1

e 1 m -1

，
所以由几何概型可知，在Ω₁中任取一点，则该点取自Ω₂的概率P=

1 m e-1 e 1 m -1

e-1

=

1

m(e 1 m -1)

；
故答案为：

1

m(e 1 m -1)

；

点评：本题考查了几何概型的运用；对于事件个数为无穷多个时，概率的求法利用事件集合的长度、面积或者体积的比表示，属于几何概型的求法．