Question

【题目】已知圆C的方程为：x2+y2﹣2mx﹣2y+4m﹣4=0，（m∈R）．
（1）试求m的值，使圆C的面积最小；
（2）求与满足（1）中条件的圆C相切，且过点（1，﹣2）的直线方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：配方得圆的方程：（x﹣m）2+（y﹣1）2=（m﹣2）2+1

当m=2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小

（2）解：当m=2时，圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1

设所求的直线方程为y+2=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣2=0

由直线与圆相切，得 ，

所以切线方程为 ，即4x﹣3y﹣10=0

又过点（1，﹣2）且与x轴垂直的直线x=1与圆也相切

所发所求的切线方程为x=1与4x﹣3y﹣10=0

【解析】（1）通过配方先将圆的一般方程化成标准方程，利用二次函数的最值，可得m的值．（2）根据（1）的结论确定圆的方程，然后设出直线方程，利用直线与圆相切的条件，建立关系，求得直线方程．