Question

10．如果有穷数列{a_n}满足条件：a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁，即a_i=a_n-i+1，我们称其为“对称数列”，例如数列1，2，3，4，3，2，1和1，2，3，4，4，3，2，1都是“对称数列”．已知数列{b_n}是项数不超过2m（m＞1，m∈N*）的“对称数列”，并使得1，2，2²，2³，…，2^m-1依次为该数列中连续的前m项．则数列{b_n}的前2015项和S₂₀₁₅可以是：
①2²⁰¹⁵-1；     
②2²⁰¹⁵-2；
③3•2^m-1-2^2m-2016-1；
④3•2^m-2^2m-2016-1；
⑤2^m+1-2^2m-2015-1．
其中正确结论的序号为①③⑤．（请写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 由题意由于新定义了对称数列，且已知数列bn是项数为不超过2m（m＞1，m∈N*）的“对称数列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次为该数列中前连续的m项，故数列bn的前2015项利用等比数列的前n项和定义直接可求①②的正确与否；对于③④⑤，先从等比数列的求和公式求出任意2m项的和，再利用减法得到需要的前2015项的和，即可判断．

解答 解：因为数列b_n是项数为不超过2m（m＞1，m∈N^*）的“对称数列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次为该数列中前连续的m项，
所以分数列的项数是偶数和奇数讨论．
1）若数列含偶数项，则数列可设为1，2¹，2²，…，2^m-1，2^m-1，…，2²，2¹，1
当m-1≥2014时，S₂₀₁₅=$\frac{1×（1-{2}^{2015}）}{1-2}={2}^{2015}-1$故①正确，②错；
当1007≤m-1＜2014时，S₂₀₁₅=2×$\frac{1×（1-{2}^{m}）}{1-2}-\frac{1×（1-{2}^{2m-2015}）}{1-2}\\;\\;\\;\\;\\;\$=2^m+1-2^2m-2015-1，故⑤正确；
2）若数列含奇数项，则数列可设为可设为1，2¹，2²，…，2^m-2，2^m-1，2^m-2…，2²，2¹，1
当m-1≥2014时，S₂₀₀₉=2²⁰⁰⁹-1；
当1007≤m-1＜2014时，所以S₂₀₁₅=2×$\frac{1×（1-{2}^{m-1}）}{1-2}+{2}^{m-1}-\frac{1×（1-{2}^{2m-1-2019}）}{1-2}$=3•2^m-1-2^2m-2016-1；故③正确；
故答案为：①③⑤

点评 本题考查了新定义对称数列，运用的知识都是数列的基本知识：等差数列的通项及求和公式，等比数列的通项及求和公式，还体现了分类讨论在解题中的应用，属于基础题．