Question

已知函数f（x）=x³+3ax²+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：根据极值点是导函数对应方程的根，可知x=2为f′（x）=0的根，结合导数的几何意义有k=f′（x）|_x=1，列出关于a，b的方程组，求解可得到y的解析式；

解答： 解：∵函数f（x）=x³+3ax²+3bx+c，
∴f′（x）=3x²+6ax+3b，
∵函数y=x³+3ax²+3bx+c在x=2处有极值，
∴当x=2时，y′=0，即12+12a+3b=0，①
∵函数图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，
∴k=f′（x）|_x=1=3+6a+3b=-3，②
联立①②，解得a=-1，b=0，
∴函数f（x）=x³-3x²+c，
函数f（x）的解析式：f（x）=x³-3x²+c．

点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的极值，求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值．