Question

在数列中{a_n}，a1=1，3anan-1+an-an-1=0(n≥2，n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）若λa_n-a_n+1≤0对任意的正整数N恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）整理得：

1

an

-

1

an-1

=3(n≥2)，可得{

1

an

}为等差数列，由此求出数列{

1

an

}的通项公式，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）把（1）求得的结果代入λa_n-a_n+1≤0，分离参数，得到λ≤

an+1

an

，转化为求函数的最小值即可解决；

解答：解：（1）由题意知数列各项不为0，
由3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0，得3+

1

an-1

-

1

an

=0，
所以

1

an

-

1

an-1

=3(n≥2)，
所以数列{

1

an

}为等差数列，首项为1，公差为3，
则

1

an

=1+（n-1）•3=3n-2，所以a_n=

1

3n-2

；
（2）若λa_n-a_n+1≤0恒成立，即λ≤

an+1

an

恒成立，整理得：λ≤

3n-2

3n+1

=1-

3

3n+1

，
设f（x）=1-

3

3x+1

，可知f（x）在x∈（-

1

3

，+∞）上单调递增，
所以当n=1时，[1-

3

3n+1

]min=

1

4

，
所以λ的取值范围为λ∈（-∞，

1

4

]．

点评：考查根据数列的递推公式利用构造法求数列的通项公式，考查学生的逻辑思维能力和灵活应用知识分析解决问题的能力，体现了转化的思想．