【题目】如图,在四棱锥中,底面
为正方形,点
是棱
的中点,
,平面
平面
.
(Ⅰ)求证://平面
;
(Ⅱ)求证:平面
;
(Ⅲ) 设,试判断平面
⊥平面
能否成立;若成立,写出
的一个值(只需写出结论).
【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ)见解析(Ⅲ) 不能成立.
【解析】试题分析:
(1)由题意可得EO// PC,利用线面平行的判定定理可得PC//平面BDE;
(2) 利用题意证得PC⊥AC,PC⊥BD,结合线面垂直的判定定理即可证得结论;
(3)由空间关系可知面面垂直的关系不能成立.
试题解析:
证明:(Ⅰ)证明:设,连接
,
因为底面为正方形,
所以是
的中点,又点
是棱
的中点,
所以EO是的中位线,
所以EO// PC
因为EO平面
,
平面
,
所以PC//平面BDE;
(Ⅱ)证明:(法一)在和
中,
因为,
,
,
所以≌
,又点
是棱
的中点,
所以,
所以
因为平面
平面
,平面
平面
,
平面
所以平面
,
所以EO⊥AC,EO⊥BD,
因为EO//PC
所以PC⊥AC,PC⊥BD,又AC∩BD=O
所以PC⊥平面ABCD.
(法二)连接PO
因为底面ABCD是正方形,
所以O是BD的中点,BD⊥AC,又PB=PD,
所以PO⊥BD,又PO∩AC=O,PO平面PAC,AC
平面PAC
所以BD⊥平面PAC
又OE平面PAC, 所以BD⊥OE,
因为平面
平面
,平面
平面
,
平面
所以平面
,
所以EO⊥AC,EO⊥BD,
因为OE∥PC,
所以PC⊥AC,PC⊥BD,又AC∩BD=O
所以所以PC⊥平面ABCD.
(Ⅲ) 不能成立
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【题目】已知等差数列{an}中,a2=5,S5=40.等比数列{bn}中,b1=3,b4=81,
(1)求{an}和{bn}的通项公式
(2)令cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.
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【题目】已知为坐标原点,椭圆
:
的左、右焦点分别为
,右顶点为
,上顶点为
, 若
成等比数列,椭圆
上的点到焦点
的最短距离为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设为直线
上任意一点,过
的直线交椭圆
于点
,且
,求
的最小值.
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【题目】如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则下列命题中,正确的为________ (填序号).
①AC⊥BD;②AC∥截面PQMN;③AC=BD;④异面直线PM与BD所成的角为45°.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,点
在椭圆
上.
(I)求椭圆的方程;
(II)设动直线与椭圆
有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点
为圆心的圆,满足此圆与
相交于两点
(两点均不在坐标轴上),且使得直线
的斜率之积为定值?若存在,求此圆的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】某城市100户居民的月平均用电量(单位:度)以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如下图示.
(Ⅰ)求直方图中x的值;
(Ⅱ)求月平均用电量的众数和中位数;
(Ⅲ)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280)的三组用户中,用分层抽样的方法抽取10户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?
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【题目】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的房顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用(单位:万元)与隔热层厚度
(单位:cm)满足关系
,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设
为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求的值及
的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用达到最小,并求最小值.
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