Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，n=1，2，3，…．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）求S_n的表达式．

Answer 1

解：（1）当n=1时，由已知得
∴a₁=
同理，可解得 a₂=，a₃= （5分）
（2）解法一：由题设S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
代入上式，得S_n-1S_n-2S_n+1=0，（*） （6分）
由（1）可得，S₂=a₁+a₂=由（*）式可得
由此猜想： （8分）
证明：①当n=1时，结论成立．
②假设当n=k时结论成立，
即那么，由（*）得
∴
所以当n=k+1时结论也成立，根据①和②可知，
对所有正整数n都成立．（12分）
解法二：由题设S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，
当n≥2，a_n=S_n-S_n-1
代入上式，得S_nS_n-1-2S_n+1=0
∴
∴=
∴=
∴数列{}是以=-2为首项，以-1为公差的等差数列，
∴=-n-1
∴= （12分）
分析：（1）把n=1，n=2，n=3分别代入已知递推公式即可求解a₁，a₂，a₃；
（2）解法一：由题设S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，利用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，代入整理可求S₁，S₂，S₃，然后猜想S_n，利用数学归纳法进行证明即可
解法二：由题设S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，利用n≥2，a_n=S_n-S_n-1代入整理，得S_nS_n-1-2S_n+1=0，然后构造等差数列，根据等差数列的通项公式可求，进而可求
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项及和，解法二中的构造等差数列进行求解通项公式的方法要注意体会掌握