Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CB=1，CA=

3

，AA1=

6

，M为侧棱CC₁上一点，AM⊥BA₁．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求二面角B-AM-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证AM⊥平面A₁BC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AM与平面A₁BC内两相交直线垂直，而BC⊥AM，AM⊥BA₁，BC∩BA₁=B，满足定理条件；
（Ⅱ）设AM与A₁C的交点为O，连接BO，根据二面角平面角的定义可知∠BOC为二面角B-AM-C的平面角，在Rt△BCO中求解此角即可．

解答：证明：（Ⅰ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
易知面ACC₁A₁⊥面ABC，∵∠ACB=90°，
∴BC⊥面ACC₁A₁．
∵AM⊆面ACC₁A₁，∴BC⊥AM．∵AM⊥BA₁，
且BC∩BA₁=B，∴AM⊥平面A₁BC．
解：（Ⅱ）设AM与A₁C的交点为O，连接BO，
由（Ⅰ）可知AM⊥OB，且AM⊥OC，
所以∠BOC为二面角B-AM-C的平面角．
在Rt△ACM和Rt△A₁AC中，∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠AA₁C=∠MAC．∴Rt△ACM∽Rt△A₁AC．∴AC²=MC•AA₁．
∴MC=

6

2

．
∴在Rt△ACM中，AM=

3 2

2

．∵

1

2

AC•MC=

1

2

AM•CO，
∴CO=1．
∴在Rt△BCO中，tanBOC=

BC

CO

=1．
∴∠BOC=45°，故所求二面角的大小为45°．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角及其度量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．