Question

【题目】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ， 底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．
（1）求的长；
（2）求cos（）的值；
（3）求证A1B⊥C1M．

Answer 1

【答案】解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．
（1）依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），
∴||==
（2）依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）．
∴=(1,-1,2)，=(0,1,2)，=3，||=，||=
∴cos＜>==
（3）证明：依题意得C1（0，0，2），M(,,2)=（﹣1，1，﹣2），=(,,0)，
∴=-+=0
∴

【解析】由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由于BCA=90°，我们可以以C为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．
（1）求出B点N点坐标，代入空间两点距离公式，即可得到答案；
（2）分别求出向量 ， 的坐标，然后代入两个向量夹角余弦公式，即可得到cos＜>的值；
（3）我们求出向量 ， 的坐标，然后代入向量数量积公式，判定两个向量的数量积是否为0，若成立，则表明A1B⊥C1M.