Question

【题目】在三棱锥ABCD中，BC⊥CD，Rt△BCD斜边上的高为1，三棱锥ABCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥ABCD体积的最大值为（ ）
A.
B.
C.1
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：当AD⊥平面BCD时，以CB、CD、CA为棱构造长方体， 此时三棱锥ABCD的外接球即该长方体的外接球，其直径为AB，
∵该外接球的表面积为16π，∴AB=4，
设BC=a，CD=b，∵在三棱锥ABCD中，BC⊥CD，Rt△BCD斜边上的高为1，
∴BD= ，
设Rt△BCD斜边上的高为CE，则CE=1，
由 ，得BD= =ab，
∵a＞0，b＞0，∴ =ab≥ ，即ab≥2，
当且仅当a=b= 时，取等号，
∴当a=b= 时， =2，解得AC=2 ，
此时三棱锥ABCD体积为V= = = ．
由此排除A，B，C选项，
故选：D．