分析 (1)连接AB′,AC′,证明MN∥AC′,即可证明MN∥平面A′ACC′.
(2)利用直线与平面垂直的判定定理证明A′N⊥平面BCN.
(3)利用VCMNB=VMBCN,转化求解即可.
解答 (12分)解:(1)证明:如图,连接AB′,AC′,
∵四边形ABB′A′为矩形,M为A′B的中点,
∴AB′与A′B交于点M,且M为AB′的中点,又点N为B′C′的中点,∴MN∥AC′,
又MN?平面A′ACC′,且AC′?平面A′ACC′,
∴MN∥平面A′ACC′.
(2)直三棱柱ABC-A′B′C′满足∠BAC=90°,AB=AC=$\frac{1}{2}$AA′=2,点M,N分别为A′B,B′C′的中点.
可得A′N⊥B′C′,A′N⊥CC′,B′C′∩CC′=C′,∴A′N⊥平面BCN
(3)由图可知VCMNB=VMBCN,
∵∠BAC=90°,∴BC=$\sqrt{AB2+AC2}$=2$\sqrt{2}$,
又三棱柱ABC A′B′C′为直三棱柱,且AA′=4,
∴S△BCN=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×4=4$\sqrt{2}$.
∵A′B′=A′C′=2,∠B′A′C′=90°,点N为B′C′的中点,∴A′N⊥B′C′,A′N=$\sqrt{2}$.
又BB′⊥平面A′B′C′,∴A′N⊥BB′,
∴A′N⊥平面BCN.
又M为A′B的中点,
∴M到平面BCN的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴VCMNB=VMBCN=$\frac{1}{3}$×4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{4}{3}$.
点评 本题考查空间想象能力以及计算能力,转化思想的应用,考查逻辑推理能力.
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A. | $\frac{1}{8}$ | B. | $\frac{5}{4}$ | C. | $\frac{9}{4}$ | D. | $\frac{17}{8}$ |
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A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充分必要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
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