Question

2．若函数f（x）在定义域D内的某个区间I上是增函数，且F（x）=$\frac{f（x）}{x}$在I上也是增函数，则称y=f（x）是I上的“完美增函数”．已知f（x）=e^x+x，g（x）=lnx-1．
（1）判断函数f（x）是否为区间（0，+∞）上的“完美增函数”；
（2）若函数g（x）是区（0，m]上的“完美增函数”，求整数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用导数判断f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，F（x）在区间（0，+∞）上不一定是增函数，即得函数f（x）不是区间（0，+∞）上的“完美增函数”；
（2）根据函数g（x）是区间（0，+∞）是单调增函数，求出函数G（x）=$\frac{g（x）}{x}$的单调增区间，即可得出g（x）是区（0，m]上的“完美增函数”时整数m的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x+x，∴f′（x）=e^x+1＞0，
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
又∵F（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{{e}^{x}}{x}$+1，
∴F′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$≥0在区间（0，+∞）上不恒成立，
∴F（x）在区间（0，+∞）上不一定是增函数，
∴函数f（x）不是区间（0，+∞）上的“完美增函数”；
（2）函数g（x）=lnx-1在区间（0，+∞）是单调增函数，
设G（x）=$\frac{g（x）}{x}$=$\frac{lnx-1}{x}$，
∴G′（x）=$\frac{2-lnx}{{x}^{2}}$，x＞0，
令G′（x）=0，解得lnx=2，即x=e²；
∴当0＜x≤e²时，G′（x）≥0，函数G（x）单调递增；
当x＞e²时，G′（x）＜0，函数G（x）单调递减；
∴当x∈（0，e²]时，g（x）与G（x）都为单调递增函数，是“完美函数”；
即函数g（x）是区（0，m]上的“完美增函数”时，整数m的最大值为[e²]=7．

点评 本题以新定义的形式考查函数的单调性，考查运用所学知识分析解决新问题的能力，构造函数，求解导数，判断的递增，思路要清晰，属于难题．