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已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,F1,F2分别为左、右焦点,离心率为e,半长轴长为a.
(1)若焦距长2c=2,且1、e、
1
4
成等比数列,求椭圆C的方程;
(2)在(1)的条件下,直线l:ex-y+a=0与x轴、y轴分别相交于M、N 两点,p是直线l与椭圆C的一个交点,且
MP
MN
,求λ的值;
(3)若不考虑(1),在(2)中,求λ的取值范围.
考点:直线与圆锥曲线的综合问题
专题:空间位置关系与距离,空间角
分析:(1)设椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0),由已知得2c=2,e=
c
a
=
1
2
,由此能求出椭圆C的方程.
(2)设P(x,y),则
y=
1
2
x+2
x2
4
+
y2
3
=1
,解得P(-1,
3
2
)
.由此利用已知条件能求出λ.
(3)因为M、N的坐标分别为(-
a
e
,0
)、(0,a),由
ex-y+a=0
x2
a2
+
y2
b2
=1
,得P(-c,
b2
a
).由
MP
MN
,得λ=1-e2.由此能求出λ的取值范围.
解答: 解:(1)设椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0),
∵焦距长2c=2,且1、e、
1
4
成等比数列,∴e2=
1
4

解得e=
c
a
=
1
2

解得a=2,b=
3
,故椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1
…..(4分)
(2)设P(x,y),则
y=
1
2
x+2
x2
4
+
y2
3
=1
,解得P(-1,
3
2
)

∵M(-4,0),N(0,2),
MP
MN

∴(3,
3
2
)=λ(4,2)=(4λ,2λ),
解得λ=
3
4
.…(8分)
(3)因为M、N的坐标分别为(-
a
e
,0
)、(0,a),
ex-y+a=0
x2
a2
+
y2
b2
=1
,解得
x=-c
y=
b2
a
,(其中c=
a2-b2
),
所以P(-c,
b2
a
).
MP
MN
,得(-c+
a
e
b2
a
)=λ(
a
e
,a),
所以
a
e
-c=λ•
a
e
b2
a
=λa
,所以λ=1-e2
因为e∈(0,1),所以1-e2∈(0,1).
故λ的取值范围是(0,1).…(13分)
点评:本题考查椭圆方程的求法,考查实数值的求法,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用.
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x2
a2
+
y2
b2
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1
a
2
1
+
1
a
2
2
+…+
1
a
2
n
1
2
,n∈N*

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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)经过点(0,
3
),离心率为
1
2
,左、右焦点分别为F1(-c,0)与F2(c,0).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C与x轴负半轴交点为A,过点M(-4,0)作斜率为k(k≠0)的直线l,交椭圆C于B、D两点(B在M、D之间),N为BD中点,并设直线ON的斜率为k1
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1
2
|t-10|(元).
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