【题目】设命题:对任意的, 恒成立,其中.
(1)若,求证:命题为真命题.
(2)若命题为真命题,求的所有值.
【答案】(1)见解析;(2), 的值均唯一,分别为1,0.
【解析】试题分析:(1)若a=1,b=0,则命题p:对任意的, 恒成立.构造函数, , , .求导可证明.
(2)若命题为真命题,则当时, ,所以,对a分, 讨论,可得满足条件的a值.
试题解析:(1)当时,命题:对任意的, 恒成立.
①记, .
则,所以为上的单调增函数.
所以,即任意的, .
②记, .
则,故为上的单调增函数.
所以,即任意的, .
所以,命题为真命题.
(2)若命题为真命题,则当时, ,所以.
此时,对任意的, 恒成立.(*)
若,记, .
则在上有唯一解,记为.
当时, ,所以为上的单调减函数.
故, ,即,与(*)矛盾,舍.
若,记, .
则在上有唯一解,记为.
当时, ,所以为上的单调减函数.
故, ,即,与(*)矛盾,舍.
从而,所以, 的值均唯一,分别为1,0.
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【题目】如图所示,四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,AD⊥DC,PA⊥底面ABCD, ,M为PC的中点,N点在AB上且.
(1)证明:MN∥平面PAD;
(2)求直线MN与平面PCB所成的角.
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【题目】随着资本市场的强势进入,互联网共享单车“忽如一夜春风来”,遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况,某调查机构借助网络进行了问卷调查,并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析,得到表格:(单位:人)
经常使用 | 偶尔或不用 | 合计 | |
30岁及以下 | 70 | 30 | 100 |
30岁以上 | 60 | 40 | 100 |
合计 | 130 | 70 | 200 |
(1)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关?
(2)现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.
(i)分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数;
(ii)从这5人中,再随机选出2人赠送一件礼品,求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.
参考公式: ,其中.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】已知函数 ,其导函数为.
(1)设,若函数在上有且只有一个零点,求的取值范围;
(2)设,且,点是曲线上的一个定点,是否存在实数,使得成立?证明你的结论
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【题目】已知函数f(x)=在点(1,1)处的切线方程为x+y=2.
(1)求a,b的值;
(2)对函数f(x)定义域内的任一个实数x,不等式f(x)-<0恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】已知椭圆的右焦点为,过且与轴垂直的弦长为3.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过作直线与椭圆交于两点,问:在轴上是否存在点,使为定值,若存在,请求出点坐标,若不存在,请说明理由.
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