Question

16、已知集合P={x||x-1|＞2}，S={x|x²-（a+1）x+a＞0}
（1）若a=2，求集合S；
（2）若a≠1，x∈S是x∈P的必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=2时，我们易将S中的条件化为x²-3x+2＞0，解一元二次不等式，即可得到集合S；
（2）解绝对值不等式|x-1|＞2，可以求出集合P，根据x∈S是x∈P的必要条件，我们易判断出集合P与S的包含关系，对a进行分类讨论，构造出关于a的不等式，最后讨论结果，即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=2时，不等式x²-（a+1）x+a＞0即为x²-3x+2＞0
解得x＜1或x＞2
∴S={x|x＜1或x＞2}…（6分）
（2）由|x-1|＞2解得x＜-1或x＞3∴P={x|x＜-1或x＞3}…（8分）
由x²-（a+1）x+a＞0即（x-a）（x-1）＞0
∵x∈S是x∈P的必要条件∴P⊆S…（9分）
当a＞1时，S={x|x＜1或x＞a}
由P⊆S得a≤3∴1＜a≤3…（11分）
当a＜1时，S={x|x＜a或x＞1}
由P⊆S得a≥-1∴-1≤a＜1…（13分）
综上所述，实数a的取值范围-1≤a＜1或1＜a≤3…（14分）

点评：本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，必要条件，充分条件与充要条件的判断，其中根据充要条件的集合法解法法则，判断出集合P与S的包含关系，是解答本题的关键．