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15.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD平分∠BAC交BC于D,交△ABC的外接圆于E.
(1)求证:$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$;
(2)若AB=3,AC=2,BD=1,求AD的长.

分析 (1)过D作DM∥AB交AC于M,连接BE,利用平行线的性质,结合三角形的角平分线性质,即可得证;
(2)先求出DC,再利用三角形相似得出AD•(AD+DE)=AB•AC,即可求AD的长.

解答 (1)证明:如图,过D作DM∥AB交AC于M,连接BE.
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{AM}{MC}①$
又∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,
又DM∥AB,∴∠BAD=∠ADM,∴∠CAD=∠ADM.
∴AM=MD.
∴$\frac{MD}{AB}=\frac{CM}{AC}⇒\frac{AB}{AC}=\frac{MD}{CM}=\frac{AM}{CM}②$,
由①②知$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$…(5分)
(2)解:∵AD•DE=BD•DC,
又$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}⇒DC=\frac{2×1}{3}=\frac{2}{3}$,
∵△ADC∽△ABE.
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{AE}$,∴AD•AE=AB•AC,
∴AD•(AD+DE)=AB•AC,
∴$A{D^2}=AB•AC-AD•DE=AB•AC-BD•DC=3×2-1×\frac{2}{3}=6-\frac{2}{3}=\frac{16}{3}$,
∴$AD=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$…(10分)

点评 本题考查平行线的性质,三角形的角平分线性质,考查三角形相似性质的运用,属于中档题.

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