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数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,2Sn=(n+1)an
(I)求an与an-1的关系式,并求{an}的通项公式;
(II)求和Wn=
1
a
2
2
-1
+
1
a
2
3
-1
+…+
1
a
2
n+1
-1
分析:(I)由已知,
2Sn=(n+1)an
2Sn-1=nan-1
两式相减得2an=(n+1)an-nan-1,移向整理得出an=
n
n-1
an-1
(n≥2),再利用累积法求通项公式.
(II)
1
a
2
n+1
-1
=
1
(n+1)2-1
=
1
n(n+2)
=
1
2
(
1
n
-
1
n+2
)
,裂项后求和计算即可.
解答:解:(I)由已知
2Sn=(n+1)an
2Sn-1=nan-1
两式相减得2an=(n+1)an-nan-1,移向整理得出an=
n
n-1
an-1
(n≥2)

an
a1
=
an
an-1
an-1
an-2
•…•
a2
a1
=
n
n-1
n-1
n-2
•…•
2
1
=n

∴an=n;且a1=1也适合,
所以an=n.
(II)
1
a
2
n+1
-1
=
1
(n+1)2-1
=
1
n(n+2)
=
1
2
(
1
n
-
1
n+2
)

Wn=
1
1•3
+
1
2•4
+
1
3•5
+…+
1
n(n+2)
=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
2
-
1
4
)
+(
1
3
-
1
5
)+…+(
1
n-1
-
1
n+1
)+( 
1
n
-
1
n+2
)]

=
1
2
(1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2
)=
3
4
-
2n+3
2n(n+1)
点评:本题考查数列累积法通项公式求解,裂项法求和.考查转化、变形构造,计算能力.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设等比数列{an}的公比q≠1,Sn表示数列{an}的前n项的和,Tn表示数列{an}的前n项的乘积,Tn(k)表示{an}的前n项中除去第k项后剩余的n-1项的乘积,即Tn(k)=
Tn
ak
(n,k∈N+,k≤n),则数列
SnTn
Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)
的前n项的和是
a12
2-q-q-1
(n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
a12
2-q-q-1
(n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
(用a1和q表示)

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科目:高中数学 来源: 题型:

若数列{an}的通项an=
1
pn-q
,实数p,q满足p>q>0且p>1,sn为数列{an}的前n项和.
(1)求证:当n≥2时,pan<an-1
(2)求证sn
p
(p-1)(p-q)
(1-
1
pn
)

(3)若an=
1
(2n-1)(2n+1-1)
,求证sn
2
3

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知Sn是数列{an}的前n项和,an>0,Sn=
a
2
n
+an
2
,n∈N*
(1)求证:{an}是等差数列;
(2)若数列{bn}满足b1=2,bn+1=2an+bn,求数列{bn}的通项公式bn

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•商丘二模)数列{an}的前n项和为Sn,若数列{an}的各项按如下规律排列:
1
2
1
3
2
3
1
4
2
4
3
4
1
5
2
5
3
5
4
5
…,
1
n
2
n
,…,
n-1
n
,…有如下运算和结论:
①a24=
3
8

②数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比数列;
③数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n项和为Tn=
n2+n
4

④若存在正整数k,使Sk<10,Sk+1≥10,则ak=
5
7

其中正确的结论是
①③④
①③④
.(将你认为正确的结论序号都填上)

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科目:高中数学 来源: 题型:

给出下列命题:
①若数列{an}的前n项和Sn=2n+1,则数列{an}为等比数列;
②在△ABC中,如果A=60°,a=
6
,b=4
,那么满足条件的△ABC有两解;
③设函数f(x)=x|x-a|+b,则函数f(x)为奇函数的充要条件是a2+b2=0;
④设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),则M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
其中真命题的序号是

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