【题目】已知直角梯形中, , , , , ,如图1所示,将沿折起到的位置,如图2所示.
(1)当平面平面时,求三棱锥的体积;
(2)在图2中, 为的中点,若线段,且平面,求线段的长;
【答案】(1)(2)1
【解析】试题分析:(1)由面面垂直性质定理得平面,即为三棱锥的高,再根据三棱锥体积公式求体积(2)取的中点,则根据三角形中位线性质得,即得,再根据线面平行性质定理得.即得四边形是平行四边形.可得.
试题解析:(1)当平面平面时,因为,且平面平面, 平面,所以平面,因为平面,所以.因为在直角梯形中, , , , , ,所以, .所以.又因为,所以,所以.所以.所以三棱锥的体积等于.
(2)取的中点,连接, ,如上图所示.又因为为的中点,所以,且.又因为,所以.所以, , , 共面.因为平面, 平面,且平面平面,所以.又因为,所以四边形是平行四边形.所以.
点睛: 将平面图形沿其中一条或几条线段折起,使其成为空间图形,把这类问题称为平面图形的翻折问题.平面图形经过翻折成为空间图形后,原有的性质有的发生了变化,有的没有发生变化,弄清它们是解决问题的关键.一般地,翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质发生变化.解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值,这是化解翻折问题难点的主要方法.立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.
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【题目】【广东省佛山市2017届高三4月教学质量检测(二)数学文】已知椭圆: ()的焦距为4,左、右焦点分别为、,且与抛物线: 的交点所在的直线经过.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过的直线与交于, 两点,与抛物线无公共点,求的面积的取值范围.
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【题目】已知,函数.
(1)当时,解不等式;
(2)若关于的方程的解集中恰有一个元素,求的取值范围;
(3)设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求的取值范围.
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【题目】某校高一举行了一次数学竞赛,为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60),[90,100]的数据).
(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x,y的值;
(2)估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均分;
(3)在选取的样本中,从竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取2名学生,求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90,100]内的频率.
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【题目】2015年12月,京津冀等地数城市指数“爆表”,北方此轮污染为2015年以来最严重的污染过程,为了探究车流量与的浓度是否相关,现采集到北方某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与的数据如表:
时间 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 | 星期六 | 星期七 |
车流量(万辆) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
的浓度(微克/立方米) | 28 | 30 | 35 | 41 | 49 | 56 | 62 |
(1)由散点图知与具有线性相关关系,求关于的线性回归方程;
的浓度;
(ii)规定:当一天内的浓度平均值在内,空气质量等级为优;当一天内的浓度平均值在内,空气质量等级为良,为使该市某日空气质量为优或者为良,则应控制当天车流量在多少万辆以内?(结果以万辆为单位,保留整数)
参考公式:回归直线的方程是,其中, .
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