Question

【题目】已知函数.

（1）若曲线在点处的切线方程是，求函数在上的值域；

（2）当时，记函数，若函数有三个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）因为，

所以，所以，

所以，即.

，，，

所以在上的值域为.

（2）（i）当时，，由，得，此时函数有三个零点，符合题意.

（ii）当时，.由，得.当时，；当时，.若函数有三个零点，则需满足且，解得.

（iii）当时，.由，得，.

①当，即时，因为，此时函数至多有一个零点，不符合题意；

②当，即时，因为，此时函数至多有两个零点，不符合题意；

③当，即时，

若，函数至多有两个零点，不符题意；

若，得，因为，所以，此时函数有三个零点，符合题意；

若，得，由，记，则，所以，此时函数有四个零点，不符合题意.

综上所述：满足条件的实数.