Question

10．已知f（x）=e^x（x-a-1）-$\frac{{x}^{2}}{2}$+ax（a＞0）
（1）讨论f（x）的单调性：
（2）若x≥0时，f（x）+4a≥0，求正整数a的值．参考值e²≈7.389，e³≈20.086．

Answer 1

分析 （1）求导数，得到f′（x）=（x-a）（e^x-1），根据导数符号便可判断出f（x）在（-∞，0）上单调递增，在[0，a）上递减，在[a，+∞）上单调递增；
（2）f（x）+4a≥0对x≥0时恒成立，从而只需f（x）_min+4a≥0即可，而由（1）知f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（a），从而可以得到${e}^{a}-\frac{{a}^{2}}{2}-4a≤0$．可设$g（a）={e}^{a}-\frac{{a}^{2}}{2}-4a$，求导数得到g′（a）=e^a-a-4，可再设h（a）=g′（a），这样便可得出h′（a）＞0，说明h（a）在（0，+∞）上单调递增，这时可以求得h（1）＜0，h（2）＞0，从而可知存在a₀∈[1，2]，使g′（a）在（0，a₀）上单调递减，而在（a₀，+∞）上单调递增．求的是满足g（a）≤0的正整数，这样可求出g（1）＜0，g（2）＜0，g（3）＞0，从而便得出a的值为1，或2．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（x-a）-x+a=（x-a）（e^x-1）；
∵a＞0；
∴①x＜0时，x-a＜0，e^x-1＜0；
∴f′（x）＞0；
②0＜x＜a时，x-a＜0，e^x-1＞0；
∴f′（x）＜0；
③x＞a时，x-a＞0，e^x-1＞0；
∴f′（x）＞0；
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，在[0，a）上单调递减，在[a，+∞）上单调递增；
（2）由上面知，x≥0时，$f（x）_{min}=f（a）=-{e}^{a}+\frac{{a}^{2}}{2}$；
∴由f（x）+4a≥0得，${e}^{a}-\frac{{a}^{2}}{2}-4a≤0$；
设g（a）=${e}^{a}-\frac{{a}^{2}}{2}-4a$，g′（a）=e^a-a-4；
设h（a）=e^a-a-4，h′（a）=e^a-1；
a＞0，∴e^a-1＞0，h′（a）＞0；
∴h（a）在（0，+∞）上为增函数；
又h（1）=e-5＜0，h（2）=e²-6＞0；
∴存在a₀∈（1，2）使h（a₀）=0；
∴a∈（0，a₀）时，h（a）＜0，g′（a）＜0；a∈（a₀，+∞）时，h（a）＞0，g′（a）＞0；
即g（a）在（0，a₀）上递减，在（a₀，+∞）上递增；
又g（1）=$e-\frac{9}{2}$＜0，g（2）=e²-2-8＜0，g（3）=${e}^{3}-\frac{9}{2}-12＞0$；
∴a=1或2．

点评 考查根据导数符号判断函数的单调性的方法，指数函数的单调性，以及根据导数求函数最小值的方法，对单调函数零点的判断．