.(本小题满分12分)
已知函数,
是常数)在x=e处的切线方程为
,
既是函数
的零点,又是它的极值点.
(1)求常数a,b,c的值;
(2)若函数在区间(1,3)内不是单调函数,求实数m的取值范围;
(3)求函数的单调递减区间,并证明:
(1) ,
,
(2)
(3)
, 证明:当
时,
即
对一切
都成立,亦即
对一切
都成立, 所以
,
,
,…
, 所以有
,
所以.
【解析】
试题分析:(1)由知,
的定义域为
,
,
又在
处的切线方程为
,所以有
,①
由是函数
的零点,得
,②
由是函数
的极值点,得
,③
由①②③,得,
,
.
(2)由(1)知,
因此,,所以
.
要使函数在
内不是单调函数,则函数
在
内一定有极值,而
,所以函数
最多有两个极值.
令.
(ⅰ)当函数在
内有一个极值时,
在
内有且仅有一个根,即
在
内有且仅有一个根,又因为
,当
,即
时,
在
内有且仅有一个根
,当
时,应有
,即
,解得
,所 以有
.
(ⅱ)当函数在
内有两个极值时,
在
内有两个根,即二次函
数在
内有两个不等根,所以
解得.
综上,实数的取值范围是
.
(3)由,得
,
令,得
,即
的单调递减区间为
.
由函数在
上单调递减可知,
当时,
,即
,
亦即对一切
都成立,
亦即对一切
都成立,
所以,
,
,
…
,
所以有,
所以.
考点:函数导数的几何意义及利用函数的导数判定单调性求极值
点评:本题第一问题型基础简单,第二问需要分情况讨论,对学生有一定的难度,第三问需要借助于单调性求出最值进而转化为恒成立的不等式,难度大
科目:高中数学 来源: 题型:
ON |
ON |
5 |
OM |
OT |
M1M |
N1N |
OP |
OA |
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科目:高中数学 来源: 题型:
(2009湖南卷文)(本小题满分12分)
为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的、
、
.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求:
(I)他们选择的项目所属类别互不相同的概率; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分12分)
某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2,
(注:利润与投资单位是万元)
(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式.(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入到A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元.
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