Question

设函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=

π

8

（Ⅰ）求φ；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间及最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=

π

8

，所以函数取得最值，结合-π＜φ＜0，求出φ；
（Ⅱ）结合正弦函数的单调增区间，单调减区间的范围，求出函数y=f（x）的单调区间，利用正弦函数的最值确定函数的最值．

解答：解：（Ⅰ）y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=

π

8

，则有sin(

π

4

+?)=±1
即

π

4

+?=kπ+

π

2

，所以?=kπ+

π

4

，又-π＜?＜0，则?=-

3π

4

（4分）
（Ⅱ）令2kπ-

π

2

＜2x-

3π

4

＜2kπ+

π

2

，则kπ+

π

8

＜x＜kπ+

5π

8

即单调增区间为[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

](k∈Z)（6分）
再令2kπ+

π

2

＜2x-

3π

4

＜2kπ+

3π

2

，则kπ+

5π

8

＜x＜kπ+

9π

8

即单调减区间为[kπ+

5π

8

，kπ+

9π

8

](k∈Z)（8分）
当2x-

3π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

5π

8

时，函数取得最大值1；（10分）
当2x-

3π

4

=2kπ-

π

2

，即x=kπ+

π

8

时，函数取得最小值-1（12分）

点评：本题是基础题，考查三角函数的单调性，最值，对称性，考查计算推理能力，注意基本函数的基本知识和性质的应用，初相的范围的确定，解题的易错点．