Question

（1）试证明：y=f（x-a）与y=f（a-x）的图象关于直线x=a对称；
（2）若f（1+2x）=f（1-2x）对x∈R恒成立，求函数y=f（x）图象的对称轴方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）y=f（x-a）与y=f（a-x）的图象关于直线x=a对称可转化为证明y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称的问题，再结合图象的平移知识进行证明；
（2）先用换元法将f（1+2x）=f（1-2x）转化，再由转化后的形式判断对称轴的方程．
解答：解：（1） 证明：由题设知y=f（a-x）=f[-（x-a）]
由于函数y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称，不妨令a＞0
又y=f（x-a）与y=f（a-x）的图象可由函数y=f（x）与y=f（-x）的图象右移动a个单位而得到
y=f（x-a）与y=f（a-x）的图象关于直线x=a对称
（2）令t=1+2x，可得2x=t-1，代入f（1+2x）=f（1-2x）得f（t ）=f（2-t）
由于|t-1|=|2-t-1|，故可知函数y=f（x）图象关于直线x=1对称
即函数y=f（x）图象的对称轴方程为x=1
点评：本题考点是奇偶函数图象的对称性，考查幅解析式的形式来推断两个函数图象的对称性与一个函数图象本身对称性的能力，本题中两个对称性是中学阶段较常见的两个类型，要好好理解与掌握．