Question

定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=2017^x+log₂₀₁₇x，则在R上f（x）零点的个数为

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：x＞0时，求f′（x），并容易判断出f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上是单调函数．然后判断有没有x₁，x₂使得f（x₁）f（x₂）＜0：分别取x=2017^-2017，1，便可判断f（2017^-2017）＜0，f（1）＞0，从而得到f（x）在（0，+∞）上有一个零点，根据奇函数的对称性便得到f（x）在（-∞，0）上有一个零点，而因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，这样便得到在R上f（x）零点个数为3．

解答： 解：x＞0时，f′（x）=2017xln2017+

1

xln2017

＞0；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
取x=2017^-2017，则f（2017^-2017）=2017

1

2017

-2017；

1

2017

＜1，∴2017

1

2017

＜2017；
∴f（2017^-2017）＜0，又f（1）=2017＞0；
∴f（x）在（0，+∞）上有一个零点，根据奇函数关于原点对称，f（x）在（-∞，0）也有一个零点；
又f（0）=0；
∴函数f（x）在R上有3个零点．
故答案为：3．

点评：考查奇函数的概念，函数导数符号和函数单调性的关系，函数零点的概念，以及判断函数在一区间上有没有零点，以及有几个零点的方法，奇函数图象关于原点的对称性．